OS  PROBLEMAS  DO  MILÊNIO

As sete questões abaixo constituem os "Problemas do Milênio", propostos pelo Clay Mathematics Institute, www.claymath.org. Quem conseguir solucioná-los ganhará um prêmio de um milhão de dólares por problema resolvido.

1. Quais os limites da computação convencional ?

A computação, como a usamos hoje, se baseia em princípios desenvolvidos há 50 anos. Por exemplo, o computador só sabe lidar com bits, que podem apenas ser igual a 1 ou 0, mas não ambos. O uso dessa lógica binária (aristotélica ou booleana) parece ter criado barreiras intransponíveis: não se consegue um bom sistema de tradução automática de uma língua para outra, a consulta a um banco de dados com textos nem sempre captura aquilo que procuramos etc. Mas está em desenvolvimento uma outra abordagem para a computação, onde os bits podem ser 1 ou 0 ao mesmo tempo, e o cálculo pode apresentar uma natureza probabilística, como ocorre na Fuzzy Logic (lógica aproximada), que é a forma como pensamos (as coisas não são apenas certas ou erradas, mas admitem graduações: meio certo, quase errado etc.). Essa nova forma de calcular se chama Computação Quântica, já em fase experimental em alguns laboratórios de física avançada. Talvez com essa nova teoria, originada na Mecânica Quântica, se consiga resolver problemas computacionais hoje sem solução (Ver "P versus NP", de Pedro Luiz Aparecido Malagutti).

2. Existe algum teste simples para determinar se uma curva elíptica tem um número infinito de soluções racionais ?

Existe uma hipótese (Brich e Swinnerton-Dyer) para determinar quantas soluções racionais uma curva elíptica possui, o que poderia resolver uma série de problemas práticos. Mas não se conhece qualquer maneira de se testar essa hipótese.

3. É possível descrever um ciclo de Hodge como a soma de ciclos algébricos ?

Para analisar a forma de certos tipos de objetos complicados, foi conjeturado que eles podem ser obtidos pela combinação linear de formas primitivas ou básicas, com dimensões crescentes (Hipótese de Hodge). Mas ainda não se conseguiu uma maneira de se estabelecer essa ligação.

4. Os matemáticos conseguirão liberar o poder da equação de Navier-Stokes ?

O comportamento dos fluidos (gases, líquidos, atmosfera, oceanos, aeronáutica) é regido por uma complicada equação tensorial (relaciona pontos do fluido no espaço) enunciada em 1840 por Navier e Stokes. A exemplo do que também ocorre na mecânica quântica, no eletromagnetismo e na Relatividade, não se conhecem exatamente as condições em que ela funciona, nem como pode ser resolvida em muitos casos práticos.

5. O teste de Poincaré identifica esferas na quarta dimensão ?

O ramo da Matemática que estuda as propriedades comuns de objetos diferentes se chama Topologia. Por exemplo, uma rosquinha e uma xícara são a mesma coisa, pois uma pode ser transformada na outra, por deformações continuas (morphing). Nesse contexto, Poincaré elaborou um determinado teste para esferas em terceira dimensão. A dúvida é se esse teste pode ser estendido para a quarta dimensão, o que facilitaria a "visualização" de objetos mais complexos (qualquer equação com quatro variáveis independentes opera na quarta dimensão, como a Relatividade de Einstein). Ver "A Conjectura de Poincaré", de Pedro Luiz Queiroz Perguer.

6. Os zeros da função Zeta de Riemann têm a forma a + bi ?

A função Zeta é usada na análise da distribuição dos números primos que, por sua vez, são utilizados em criptografia (construção de códigos secretos). A função Zeta(s) é a soma dos termos (1 sobre k elevado à potência s, com s complexo e k=1,2...infinito). Em 1859, Riemann sugeriu uma certa propriedade para resolver a equação zeta(s) = 0, que até agora não foi demonstrada, embora já tenha sido comprovada em mais de 1.5 bilhão de casos. Esse problema é hoje considerado o mais importante da Matemática Pura.

7. O modelo-padrão da Física das Partículas se assenta em bases matemáticas sólidas ?

Há 50 anos, Yang e Mills introduziram uma forma de analisar as partículas elementares (reino da Mecânica Quântica), baseada em conceitos geométricos e em um estranho "buraco de massa" (mass gap). Embora esse modelo tenha funcionado surpreendentemente, a validade dos conceitos matemáticos empregados permanece obscura. Mas não é a primeira vez que fatos como esse acontecem. Heaviside (1850-1925) também usava as funções Impulso e Degrau de uma forma inaceitável pelos matemáticos. Mas hoje isso é admitido e usado costumeiramente em Eletrônica e Acústica.